Công thức nội suy ( phân tích ý nghĩa về hàm nội suy)

Phương pháp nội suy là phương pháp ước tính giá trị của các điểm dữ liệu chưa biết trong phạm vi của một tập hợp rời rạc chứa một số điểm dữ liệu đã biết.

1, Khái niệm về phương pháp nội suy

Căn cứ trên giá trị hàm số tại một số điểm trong một khoảng nào đó trong một khoảng nào đó của hàm của hàm f (x) chưa biết. Lập một hàm cụ thể tại một số điểm đó, có giá trị bằng giá trị của f (x) để gần đúng với nguyên hàm f (x).

Sau đó sử dụng hàm cụ thể này để tính giá trị gần đúng của nguyên hàm f (x) tại các điểm khác trong khoảng. Phương pháp này được gọi là nội suy.

Phương pháp nội suy thường là chỉ phương pháp nội suy tuyến tính trong toán học. Là phương pháp tính toán gần đúng giá trị khác của hàm số chưa biết dựa trên giá trị tự biến lượng và của một hàm số đã biết và giá trị hàm số tương ứng của nó.

Ngoài ra, còn có các phương pháp nội suy phi tuyến tính khác: chẳng hạn như phương pháp parabol bậc hai và phương pháp parabol bậc ba.

So sánh giá trị sai số với kết quả tính toán, nếu sai số nằm trong phạm vi chấp nhận được thì có thể sử dụng phương pháp nội suy phi tuyến tính. Còn trong kiểm tra bảng thường sử dụng phương pháp nội suy tuyến tính.

2, Nguyên lý phương pháp nội suy  

Phương pháp nội suy trong toán học hay còn gọi là “phương pháp nội suy đường thẳng”. Nguyên tắc là nếu A (i1, b1) và B (i2, b2) là hai điểm. Thì điểm P (i, b) nằm trên đường thẳng xác định bởi hai điểm đó.

Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng i nằm giữa i1 và i2. Do đó P nằm giữa hai điểm A và B. Vì vậy nó được gọi là “nội suy tuyến tính”.

Phương pháp nội suy toán học cho thấy rằng biến số phản ánh bởi điểm P. Tuân theo quan hệ tuyến tính phản ánh bởi đường thẳng AB.

Công thức trên rất dễ lấy. A, B và P thẳng hàng, thì:

(B-b1) / (i-i1) = (b2-b1) / (i2-i1) = hệ số góc của đường thẳng. Thay đổi để được giá trị mà mình cần.

3, Ứng dụng cụ thể của phương pháp nội suy trong tính toán tỷ suất lợi nhuận

Phương pháp nội suy được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán tỷ suất thu nhập nội bộ. Tỷ suất thu nhập nội bộ là tỷ suất chiết khấu khi giá trị hiện tại ròng của dự án đầu tư bằng 0.

Thông qua việc tính toán tỷ suất thu nhập nội bộ, để đánh giá xem dự án có khả thi hay không? Dự án khả thi nếu tỷ suất thu nhập nội bộ cao hơn tỷ suất thu nhập cần thiết. Ngược lại dự án sẽ không khả thi nếu tỷ suất thu nhập nội bộ nhỏ hơn tỷ suất thu nhập cần thiết.

>> Công thức giàu có của người giàu

Ví dụ:

Lần đầu đầu tư một lầ 400 triệu, sau khi kinh doanh 3 năm, tỷ suất thu nhập thấp nhất là 10%. Dòng tiền ròng trong kỳ kinh doanh có hai trường hợp sau:

(1) Dòng tiền ròng hàng năm giống nhau, đều là 16 triệu;

(2) Dòng tiền ròng hàng năm không giống nhau, năm đầu tiên là 12 triệu. Năm thứ hai là 16 triệu và năm thứ ba là 24 triệu.

Công thức nội suy

Theo trường hợp (1), số tiền đầu tư được đầu tư một lần tại thời điểm ban đầu. Và dòng tiền hàng năm bằng nhau. Tương đương với 16 triệu, vì vậy cần tính trực tiếp theo phương pháp niên kim, tức

NPV=1600×(P/A, I, 3) – 4000

Vì tỷ suất thu nhập nội bộ là tỷ suất chiết khấu khi giá trị hiện tại ròng của dự án đầu tư bằng 0, nên NPV=0, tức

1600×(P/A, I, 3) – 4000 = 0

(P/A, I, 3) = 4000 ÷ 1600 = 2.5

Kiểm tra bảng hệ số giá trị niên kim hiện tại, 2.5 nằm trong khoảng 2.5313 (tương ứng với tỷ lệ chiết khấu i là 9%) và 2.4869 (tương ứng với tỷ lệ chiết khấu I là 10%).

Có thể thấy rằng tỷ suất thu nhập nội bộ là từ 9% đến 10%. Theo nguyên tắc của phương pháp nội suy trên, tỷ suất thu nhập nội bộ có thể được đặt là I,

Căn cứ theo công thức ban đầu:

(i2 – i1) / (i – i1) = ( β2 – β1) / ( β – β1).

i2 =10%, i1 = 9%, β ở đây biểu thị hệ số, β2 = 2.4689, β1 = 2.5313

Theo cách tính trên, β bằng 2.5, do đó có thể liệt kê công thức sau:

(10% – 9%) / (I – 9%) = (2.4689 – 2.5313) / (2.5 – 2.5313), được I = 9.5%. Vì tỷ suất thu nhập tối thiểu của công ty là 10% và tỷ suất thu nhập nội bộ 10%. Nên kế hoạch này không khả thi.

Công thức nội suy

Theo trường hợp (2), không thể được tính trực tiếp theo phương pháp niên kim, mà phải thông qua cách thử sai để tính.

Phương pháp này trước tiên phải đặt một tỷ lệ chiết khấu là i1. Sau đó chiết khấu dòng tiền trong kỳ tính toán dự án về giá trị hiện tại theo tỷ lệ chiết khấu. Tính ra giá trị hiện tại ròng NPV1.

Nếu NPV1> 0, suy ra tỷ lệ chiết khấu đã đặt  i1 nhỏ hơn tỷ suất thu nhập nội bộ của dự án. Lúc này phải nâng cao tỷ suất chiết khấu là i2. Đồng thời tính toán lại giá trị dòng hiện tại của dự án đầu tư NPV2 theo i2.

Nếu NPV1 <0, điều đó có nghĩa là tỷ suất chiết khấu i1 đã đặt lớn hơn tỷ suất thu nhập nội bộ của dự án. Lúc này nên giảm tỷ suất chiết khấu là i2. Đồng thời tính toán lại giá trị dòng tiền của dự án về giá trị hiện tại theo i2. Để tính giá trị hiện tại ròng NPV2.

Sau quá trình trên, nếu lúc này kết quả tính toán NPV2 và NPV1 ngược nhau. Tức là xuất hiện giá trị hiện tại thuần âm và dương. Thì quá trình thử sai đã hoàn thành.

Bởi số 0 nằm giữa dương và âm (Tỷ suất chiết khấu có thể làm cho giá trị hiện tại ròng của dự án đầu tư khi bằng 0 mới là tỷ suất thu nhập nội bộ tài chính). Lúc này, bạn có thể sử dụng phương pháp nội suy để tính toán như trường hợp 1.