Vô cực là gì trong Toán học (Dương vô cùng âm vô cùng trong toán học)

Kể từ khi toán học phát triển, vô cùng lớn luôn là một vấn đề khó lý giải trong nhân loại. Chúng ta phải nhận ra rằng vô cùng lớn không phải là một con số cụ thể. Mà là một ý tưởng, chỉ tồn tại trong trừu tượng.

Vô cùng lớn trong toán học

Vô cùng lớn không thể là một số cụ thể. Chẳng hạn như x, chúng ta x+1 theo lô-gic của phép cộng để tạo ra một số vô cùng mới. Sau đó, chúng ta cũng có thể cộng thêm 1 nữa, để tạo ra một số vô cùng lớn hơn.

Trên thực tế, chúng ta có thể lấy vô cùng lớn + vô cùng lớn, để tạo ra vô cùng của tất cả vô cùng. Rồi sau đó chúng ta lại cộng thêm 1. Và cứ thế lặp lại.

Trái ngược với vô cùng lớn là vô cùng nhỏ. Tính chất của vô cùng nhỏ cũng kỳ lạ như vô cùng lớn. Khác với số nguyên đó là số thực không cố định. Bản chất phân tách của chúng cho phép chúng ta tìm và tạo ra vô số các con số giữa hai số bất kỳ.

Một số có thể được kết hợp và phân tách nhiều lần. Giữa 0 và 1 có thể có 100 con số. Giữa 0.01 và 0.99 thậm chí có hàng trăm vạn con số. Chỉ cần thêm 0 vào sau dấu phẩy, sẽ tạo ra vô vàn những con số mới.

Bởi vậy, mặc dù 0.00000000000000001 trông rất nhỏ. Nhưng vẫn có thể chia cho mười, từ đó tạo ra một số vô cùng nhỏ mới 0.000000000000000001.

Do vậy, cũng giống như vô cùng lớn. Vô cùng nhỏ chỉ tồn tại trong trìu tượng. Nhưng tính chất không xác định của nó không những khiến các nhà toán học cảm thấy bất an. Mà các nhà vật lý học cũng vậy.

Sai số trong vô cùng nhỏ

Toán học là ngôn ngữ để biểu đạt tư tưởng vật lý. Do vậy, trong nhận thức bản chất hiện thực của chúng ta, nếu như toán học không đồng nhất. Đồng nghĩa với vật lý cũng không đồng nhất.

Sự không đồng nhất này là do chúng ta không thể xác định được giá trị của vô cùng nhỏ. Giá trị của vô cùng nhỏ luôn được dùng để suy luận rất nhiều công thức quan trọng.

Trên thực tế, một phần của toán học đều được xây dựng trên cơ sở của vô cùng nhỏ. Nếu như không có vô cùng nhỏ. Sự tiến bộ của vật lý cũng ngày càng chậm.

Lấy ví dụ như công thức tính diện tích hình tròn. Johannes Kepler tính diện tích hình tròn bằng cách chia nó thành nhiều hình tam giác khác nhau. Do vậy, diện tích hình tròn là tổng diện tích của các hình tam giác.

Một hình tròn có thể chia thành 4 hình tam giác có hai đường kính. Tuy nhiên, cạnh của những hình tam giác này không thể chính xác gần như đường cong (ngoại trừ một số không gian). Vậy niên diện tích tính được là sai.

Nhằm giảm thiểu sự sai số này. Chúng ta có thể vẽ nhiều đường kính hơn để tạo ra nhiều hình tam giác ngắn cạnh. Mặc dù sai số từ cách này có giảm, nhưng vẫn không thể bằng không.

Vậy nên, chúng ta càng chia thành nhiều hình tam giác hơn nữa, cho đến khi không có không gian bị ngoại trừ.

>> 12 nguyên lý toán học hữu ích trong đầu tư

Vô cực là gì trong Toán học

Để hoàn toàn loại trừ sự sai số này, chúng ta buộc phải chia nó thành vô hạn hình tam giác. Vậy nên một đường thẳng cũng có thể được lý giải là một phần của hình tròn.

Chúng ta có thể nói, hình tròn này là do vô hạn các đường tạo thành. Điều này là do giá trị xấp xỉ vô cùng nhỏ của vô số hình tam giác.

Có thể chúng ta sẽ chú ý đến, thứ tự của hình tam giác khiến chúng ta nhớ đến chiếc quạt xếp. Diện tích của tất cả các hình tam giác đều bằng nhau.

Chúng ta có thể biến quạt thành một hình tam giác vuông thông qua việc trải rộng hoặc kéo dài diện tích này. Chu vi đã bị thay đổi, nhưng toàn bộ diện tích vẫn như cũ.

Đỉnh của tam giác vuông này là tâm của hình tròn và chiều cao của nó là độ dài của hình quạt. Tức bán kính của hình tròn. Đáy là chu vi của hình tròn. Diện tích bằng ½*đáy*chiều cao. Cũng chính là ½*r*2πr = πr^2. Đây là đáp án chính xác, nhưng kết quả vẫn là sai số.

Những cạnh đáy này phải là vô cùng nhỏ thực sự. Do vậy, dù Johannes Kepler vẽ rất nhiều rất nhiều hình tam giác nhỏ. Chúng ta đều biết rằng, ông ấy còn có thể vx được nhiều hơn.

Dương vô cùng âm vô cùng trong toán học

Khi Johannes Kepler dừng vẽ hình tam giác, ông để lại khoảng trống (không gian). Mặc dù những khoảng trống này vô cùng nhỏ, nhưng cũng không phải là 0.

Đường cong chưa hoàn toàn giống nhau. Nên tính diện tích hình tròn vẫn có chút sai số. Mặc dù điều này có thể khiến các nhà toán học cảm thấy khó chịu. Nhưng đại đa số mọi người đều không để ý đến những sự khác biệt này.

Vi tích phân do Leibniz và Newton phát hiện, cũng dựa trên các phép tính vô cùng nhỏ. Nhánh toán học này có liên quan đến các đường cong và sự thay đổi.

Ví dụ, khi chúng ta tích phân một hàm số, thực ra là chúng ta đang tính diện tích các đường cong mà đã vẽ ra. Tuy nhiên, cũng giống như tính diện tích hình tròn, chúng ta tính nó bằng cách tính gần đúng một đường cong hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Hình chữ nhật càng mỏng thì sai số càng nhỏ.

Diện tích hình chữ nhật là chiều dài của nó. Nghĩa là giá trị của điểm trên đường cong trục y nhân với chiều rộng của nó, là đơn vị thập phân mà chúng ta gọi là dx.

Chúng ta tính diện tích của mỗi hình chữ nhật và tính tổng chúng để xác định diện tích dưới đường cong. Điều này rất hữu ích về mặt vật lý.

Vô cực là gì trong Toán học

Vi tích phân xuất hiện, bài toán khó xóa và nan giải này đã làm các nhà toán học hoang mang trong suốt hai thế kỷ. Cho đến khi khái niệm “giới hạn” được thay đổi.

Trong nghiên cứu của Newton và Leibniz, các giới hạn là tuyệt đối. Nhưng vào đầu thế kỷ 19, chúng đã được sửa đổi và xác định lại.

Những quan điểm mới này rất chặt chẽ và nhất quán về mặt toán học. Mặc dù giới hạn cho phép các nhà toán học cuối cùng loại bỏ vô cùng nhỏ. Nhưng chúng ta vẫn chưa giải quyết được vô cùng lớn.