Định nghĩa Mod ở trong toán học có nghĩa là gì

Mod ở trong toán học có nghĩa là gì? Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây của chúng tôi. Định nghĩa Mod ở trong toán học.

Định nghĩa Mod ở trong toán học có nghĩa là gì

Khái niệm đồng dư lần đầu tiên được phát hiện bởi nhà toán học vĩ đại người Đức Gauss. Đồng dư giống như là số dư.

Định nghĩa của nó như sau: nếu chia đồng thời hai số nguyên a và b cho một số tự nhiên m. Mà số dư thu được bằng nhau thì a và b đồng dư theo modulo m. Được ghi là a ≡ b (mod.m). Đọc là: a đồng dư với b mod m.

Tính chất đồng dư  tương đối nhiều. Do vậy, để học và hiểu được phương pháp đồng dư. Trước tiên chúng phải làm quen với các tính chất cơ bản của “đồng dư”:

1, Đối với cùng một số chia, tích của hai số đồng dư với tích số dư của chúng.

Ví dụ: Tích của 201 × 95 đồng dư với số chia 7. Và tích số dư 5 của 201 ÷ 7 và số dư 4 của 95 ÷ 7 là 20 đồng dư với 7.

2, Đối với cùng một số chia, nếu hai số nguyên đồng dư thì hiệu của chúng phải chia hết cho số chia.

Ví dụ: 519 và 399 là đồng dư của một số chia. Khi đó số chia phải là một thừa số của hiệu giữa 519 và 399. Nghĩa là, hiệu số giữa 519 và 399 phải chia hết cho số chia này.

Định nghĩa Mod ở trong toán học có nghĩa là gì

3, Đối với cùng một số chia, nếu hai số đồng dư, thì lũy thừa của chúng vẫn đồng dư.

Ví dụ: 20 và 29 là đồng dư của một số chia. Vì vậy bất kỳ lũy thừa nào của 20 và 29 đều đồng dư với số chia này. Dĩ nhiên số dư lớn hay nhỏ sẽ thay đổi theo lũy thừa.

4, Đối với cùng một số chia, nếu ba số a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m). Thì ba số a, b và c là đồng dư của ước số m (tính chất bắc cầu)

Ví dụ: 60 và 76 đồng dư với mod 8, và 76 và 204 đồng dư với mod 8. Do đó 60, 76 và 204 đồng dư với mod 8.

>> Dương vô cùng là bao nhiêu (Khái niệm định nghĩa về dương vô cùng trong toán học)

5, Đối với cùng một số chia, nếu bốn số a≡b (mod m), c≡d (mod m), thì a ± c≡c ± d (mod m). (Có thể cộng và trừ)

6, Đối với cùng một số chia, nếu bốn số a≡b (mod m), c≡d (mod m), thì ac≡bd (mod m). (Có thể nhân)

Mấu chốt của việc áp dụng tính chất đồng dư để giải bài toán là sử dụng tính chất đồng dư một cách linh hoạt trên cơ sở hiểu đúng ý nghĩa của câu hỏi.

Định nghĩa Mod ở trong toán học có nghĩa là gì

Ví dụ 1: Chia 412, 133, 257 cho cùng một số tự nhiên và có dư bằng nhau thì số tự nhiên lớn nhất là bao nhiêu?

Phân tích: Giả sử số tự nhiên này là a. Vì số dư thu được khi chia a cho 412, 133 và 257 là như nhau nên a | (412-133), a | (412-257), a | (257-133). Chứng tỏ a là ước số của hiệu giữa hai số bất kỳ trong 3 số trên. Bài toán yêu cầu tìm số lớn nhất chính là ước số chung lớn nhất của ba hiệu số này. (155,124,279) = 31 nên giá trị lớn nhất của a là 31.

Ví dụ 2: 249 × 388 × 234 chia cho 19 thì dư là bao nhiêu?

Phân tích: Nhân ba số với nhau tìm ra tích. Rồi lấy tích chia cho 19 thì sẽ rất rắc rối. Tuy nhiên bạn có thể dễ dàng giải quyết nó bằng ý tưởng đồng dư.

Vì 249≡2 (mod19), 388≡8 (mod19), 234≡6 (mod19), nên 249 × 388 × 234≡2 × 8 × 6≡1 (mod19)

Bài toán này áp dụng tính chất có thể nhân của đồng dư và tính bắc cầu của đồng dư.