Hiểu về Công thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki (cùng bài tập và ứng dụng)

Bất đẳng thức Cauchy được nhà toán học vĩ đại Cauchy thu được khi ông nghiên cứu bài toán “số dòng” trong phân tích toán học. Nhưng theo quan điểm lịch sử, bất đẳng thức này nên được gọi là bất đẳng thức Cauchy-Buniakowsky-Schwarz, bởi vì chính hai nhà toán học sau này đã độc lập mở rộng nó trong tích phân áp dụng bất đẳng thức này thành một điểm gần như hoàn hảo.

Bất đẳng thức Cauchy rất quan trọng, vận dụng nó một cách linh hoạt và khéo léo có thể giải được một số bài toán khó. Bất đẳng thức Cauchy được sử dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải tam giác, tìm giá trị lớn nhất của hàm số, giải phương trình và các bài toán khác …

Công thức bất đẳng thức Cauchy hai chiều là gì?

1) Dạng hai chiều (a ^ 2 b ^ 2) (c ^ 2 d ^ 2) ≥ (ac bd) ^ 2 Dấu bằng thỏa mãn: ad = bc

2) Công thức tam giác √ ( a ^ 2 b ^ 2) √ (c ^ 2 d ^ 2) ≥√ [(ac) ^ 2 (bd) ^ 2] Dấu bằng được thỏa mãn: ad = bc Lưu ý: “√” có nghĩa là căn bậc hai.

3) dạng vector

α

β

≥

α · β

, α = (a1, a2,…, an), β = (b1, b2,…, bn) (n∈N, n≥2) Điều kiện của đẳng thức: β là vectơ không, hoặc α = λβ (λ ∈ R).

4) Chứng minh hai chiều (a ^ 2 b ^ 2) (c ^ 2 d ^ 2) (a, b, c, d∈R) = a ^ 2 · c ^ 2 b ^ 2 · d ^ 2 a ^ 2 · d ^ 2 b ^ 2 · c ^ 2 = a ^ 2 · c ^ 2 2abcd b ^ 2 · d ^ 2 a ^ 2 · d ^ 2-2abcd b ^ 2 · c ^ 2 = (ac bd) ^ 2 (ad-bc) ^ 2 ≥ (ac bd) ^ 2, dấu bằng chỉ hợp lệ khi ad-bc = 0, tức là ad = bc.

Một số bài tập về Công thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

 

1.Nếu f (x) = x2-ax + 1 có giá trị âm thì khoảng giá trị của số thực a là

A.a ＞ 2 hoặc a ＜ -2
B.-2 ＜ a ＜ 2
C.a ≠ ± 2
D.1 ＜ a ＜ 3

Phân tích: Để f (x) = x2-ax + 1 có giá trị âm, dùng ảnh của hai hàm số biết rằng ảnh của f (x) và trục x có hai giao điểm khác nhau thì theo đến phân biệt của căn, đó là Phạm vi giá trị của số thực a có thể nhận được.
Trả lời: f (x) có giá trị âm,
Khi đó, phải thoả mãn rằng ảnh của f (x) có hai giao điểm khác nhau với trục x,
Điều kiện cần và đủ là: △ = (- a) 2-4 ＞ 0, a2 ＞ 4
Tức là, a> 2 hoặc a <-2.
Vậy chọn A.

2. Tập nghiệm của bất phương trình px2 + qx + r ＞ 0 trên x là {x | 0 ＜ α ＜ x ＜ β} thì tập nghiệm của bất phương trình khác rx2-qx + p ＞ 0 trên x là?

Phân tích: α và β có thể coi là hai nghiệm của phương trình px2 + qx + r = 0, từ đó tìm được mối quan hệ giữa p, q, r và α, β và thay rx2-qx + p> 0 , bất đẳng thức có thể được tìm thấy lời giải.

Giải: Vì tập nghiệm của bất phương trình px2 + qx + r ＞ 0 trên x là {x | 0 ＜ α ＜ x ＜ β},
Vì vậy, α và β có thể được coi là hai nghiệm nguyên của phương trình px2 + qx + r = 0,
Vậy p <0, công thức toán học, công thức toán học,
Vì 0 ＜ α ＜ x ＜ β, p ＜ 0,
Vậy r <0.
Vậy rx2-qx + p> 0
Công thức toán học
Đó là α • βx2 + (α + β) x + 1 ＜ 0
Giải công thức toán học
Vì vậy, chọn D.

3.Giả sử hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 là x1, x2 và x1 <x2, a <0 thì tập nghiệm của ax2 + bx + c> 0 là

A. {x | x ＜ x1}
B. {x | x ＞ x2}
C. {x | x <x1 hoặc x> x2}
D. {x | x1 ＜ x ＜ x2}

Phân tích: Vì hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 là x1 và x2 nên bất phương trình có thể thu gọn thành: a (x-x1) (x-x2)> 0 nên bất phương trình có thể giải được.
Lời giải: Từ ý nghĩa của câu hỏi, bất phương trình có thể rút gọn thành: a (x-x1) (x-x2)> 0, vì x1 <x2, a <0 nên tập nghiệm của ∴ax2 + bx + c> 0 là {x | x1 ＜ x ＜ x2},
Vì vậy, chọn D.