Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu (Kiểm tra dãy đan dấu trong C )

Dãy hội tụ, tập dãy {Xn}, nếu tồn tại một hằng số a (chỉ một), với mọi số dương q đã cho (dù nhỏ bao nhiêu), luôn tồn tại một số nguyên dương N, sao cho khi n> N thì có luôn luôn | Xn-a | <q đúng, người ta nói rằng dãy {Xn} hội tụ đến a (giới hạn là a), tức là dãy {Xn} là dãy hội tụ.

Cho một dãy Xn, nếu có M> 0, sao cho mọi số tự nhiên n, luôn có | Xn | <M, thì dãy Xn được cho là có giới hạn. Nếu dãy {Xn} hội tụ thì dãy phải có giới hạn. Hệ quả: một dãy số không giới hạn phải phân kỳ; một dãy số có giới hạn không  nhất thiết hội tụ; sự phân kỳ của dãy số không nhất thiết phải là không giới hạn. Trình tự có giới hạn là điều kiện cần để hội tụ trình tự, nhưng nó không phải là điều kiện đủ.

Nếu một mục trong chuỗi bắt đầu từ Xn> 0 (hoặc Xn <0) và {Xn} hội tụ đến a, thì a> 0 (hoặc a <0), thì có mối quan hệ với nhau. Dãy con cũng là dãy hội tụ và giới hạn là a Luôn có | Xn | <M. Nếu một dãy con được biết là phân kỳ, hoặc hai dãy con hội tụ đến các giá trị giới hạn khác nhau, thì có thể kết luận rằng dãy ban đầu là phân kỳ.

Phương pháp đánh giá sự hội tụ và phân kỳ đơn giản có nghĩa là có giới hạn (giới hạn không phải là vô cùng) là hội tụ, và không có giới hạn (giới hạn là vô cùng) là phân kỳ. Phán đoán hội tụ và phân kỳ thực chất chỉ đơn giản là xem giới hạn có tồn tại hay không, khi n là vô hạn thì phán đoán Xn có phải là hằng số hay không, còn nếu là hằng số thì nó sẽ hội tụ, khi cộng trừ thì trực tiếp loại bỏ cao – sắp xếp số lượng đơn vị. Khi nhân và chia, hãy thay thế số thập phân đơn vị phức hợp ban đầu bằng số thập phân đơn vị tương đương đơn giản hơn.

Xác định xem hàm số và dãy số hội tụ hay phân kỳ:

1. Giả sử dãy {Xn}, nếu tồn tại một hằng số a, với mọi số dương q đã cho (dù nhỏ đến đâu) luôn tồn tại một số nguyên dương N, sao cho khi n> N thì luôn tồn tại | Xn- a |.
2. Tìm giới hạn của dãy số nếu giới hạn của dãy số n có xu hướng vô cùng, giới hạn của dãy số luôn có thể gần với số thực a thì dãy số là hội tụ, nếu số thực a không tìm thấy thì dãy số là phân kỳ. Khi nhìn vào n có xu hướng đến vô cùng, cho dù Xn có hướng đến một hằng số, nhưng đôi khi Xn phức tạp hơn và không dễ quan sát. Đây là phương pháp phân biệt được sử dụng phổ biến nhất là đơn điệu và có giới hạn và hội tụ.
3. Khi cộng và trừ, làm tròn trực tiếp các số đơn vị bậc cao là 1 + 1 / n và sử dụng 1 để thay thế phép nhân và phép chia, thay thế các số đơn vị vô cùng phức hợp ban đầu bằng các số đơn vị tương đương đơn giản hơn, chẳng hạn như 1 / n * sin (1 / n) được thay thế bằng 1 / n ^ 2.
4. Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất, dãy phải có giới hạn và tính chất bảo toàn dãy số phù hợp với quan hệ của dãy con. Một dãy không đáp ứng bất kỳ điều kiện nào trên đây là một dãy phân kỳ. Ngoài ra, còn có tiêu chí hội tụ của D’Alembert, tiêu chí hội tụ của Cauchy, phương pháp hội tụ phán đoán triệt để… để phán đoán hội tụ.