Bài tập khảo sát sự hội tụ của chuỗi số (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ )

Đối với một dãy vô hạn {an}, biểu thức nối các mục của nó lần lượt với các dấu cộng được gọi là một dãy, thường được viết là ∑n = 1∞an hoặc viết tắt là ∑an. Tổng của n mục đầu tiên trong dãy được gọi là tổng một phần của dãy, tức là, Sn = ∑k = 1nak.

Nếu chuỗi tổng riêng phần {Sn} hội tụ đến S, thì chuỗi ∑n = 1∞an được cho là hội tụ, và S được gọi là tổng của chuỗi ∑n = 1∞an. Dãy số có những ứng dụng quan trọng để giải nhiều bài toán. Điều quan trọng nhất là xác định độ hội tụ và phân kì của dãy số.

Điều kiện cần thiết để hội tụ chuỗi là chuỗi hội tụ về 0, nghĩa là nếu {an} hội tụ thì limn → ∞an = 0; do đó, nếu limn → ∞an ≠ 0 thì chuỗi phải phân kỳ. Do đó, nếu giới hạn của dãy số không phải là 0 thì có thể xác định rằng dãy số là phân kỳ. Nhưng nếu limn → ∞an = 0 thì ta không thể lần lượt rút ra kết luận.

Nói chung, sẽ không có vấn đề nào cho phép bạn đánh giá xem chuỗi của một dãy rõ ràng không hội tụ về 0 có hội tụ về 0 hay không, bởi vì nó rất hiển nhiên.

Nhưng dù sao đi nữa, chúng ta cần quan sát thuật ngữ chung của dãy số trước khi quyết định phải làm gì, và xem liệu nó có hội tụ về 0 hay không là điều có thể làm được. Một khi bạn nhận thấy dãy số không hội tụ về 0, bạn sẽ “mò được mỏ vàng”. Tuy nhiên, chúng ta không thể dựa vào đây để phán đoán sự phân kỳ của chuỗi, nhiều chuỗi hội tụ về 0 vẫn phân kỳ.

Ví dụ, rõ ràng chuỗi {nn + 1} là phân kỳ, vì limn → ∞nn + 1 = 1 ≠ 0.

Ngoài ta, có thể sử dụng tiêu chí Cauchy để xác định về chuỗi hội tụ. Điều kiện cần và đủ để hội tụ chuỗi ∑n = 1∞an là: với ε> 0 bất kỳ thì tồn tại số nguyên dương N, sao cho m> N và số nguyên dương p , | am + 1 + am + 2 +… + am + p | <ε. Nói chung, phương pháp này vẫn cần được tính tổng mà nhiều dãy số thực sự không dễ tính tổng, vì vậy chúng tôi ít khi sử dụng phương pháp này để đánh giá sự hội tụ của chuỗi.

Ví dụ 1: Xác định độ hội tụ và phân kỳ của dãy số ∑n = 1∞sin2n2n.

Phân tích: Dãy này rất dễ chia tỷ lệ, nghĩa là, | sin2n | <1, vì vậy nó có thể được xác định bằng tiêu chí Cauchy.

Giải pháp: với mọi ε> 0

Lấy N = [log21ε], thì khi m> N, ∣∣∣∑k = m + 1m + psin2k2k∣∣∣ <∑k = m + 1m + p12k <12m <ε

Vậy chuỗi ∑n = 1∞sin2n2n hội tụ.

Ví dụ khác: Đặt hằng số α> 0 để phân biệt sự hội tụ và phân kỳ của dãy số ∑n = 0∞lnnn1 + 2α.

Trả lời: limn → ∞lnnn1 + 2α1n1 + α = limn → ∞lnnnα = 0 <1. Và ∑1n1 + α hội tụ nên ∑n = 0∞lnnn1 + 2α hội tụ.

Ví dụ khác: Xác định độ hội tụ và phân kỳ của các dãy số sau:

• ∑ (n2n + 1) n
• ∑n! Nn

Cả hai chuỗi này đều phù hợp với các đặc điểm nêu trên, sử dụng phương pháp phán đoán giá trị gốc Cauchy sẽ thuận tiện hơn.

Lời giải:

(1) limn → ∞ (n2n + 1) n −−−−−− √n = limn → ∞n2n + 1 = 12 <1, dãy số hội tụ

(2) Khi n≥2, n! Nn −− √n = 1⋅2 … n√nn <1 + 2 + … + nnn = n + 12n⩽34 <1 thì chuỗi hội tụ.

Lưu ý: Không dễ dàng tìm được giới hạn trong (2), nhưng bất đẳng thức cơ bản có thể được dùng để chia tỷ lệ khi sử dụng phương pháp phán đoán giá trị gốc, do đó, dạng giới hạn không được sử dụng. Ngược lại, limn → ∞n! Nn = 0 có thể nhận được từ điều này, vì vậy đôi khi cũng có thể chứng minh rằng chuỗi hội tụ về 0 bằng cách chứng minh rằng chuỗi hội tụ.