Hiểu về Tính chất của trọng tâm và cách xác định trọng tâm tam giác trong Hình học (và Trực tâm của tam giác)

Các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác. Giao điểm của ba đường trung trực tại một điểm có thể được chứng minh bằng định lý đuôi én.

Trọng tâm ban đầu là một khái niệm vật lý. Đối với một tấm tam giác có độ dày bằng nhau và chất lượng đồng đều, trọng tâm chính xác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác này, do đó có tên là trọng tâm.

Các đặc điểm của trọng tâm tam giác:

Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện.
Diện tích của ba tam giác tạo bởi trọng tâm và ba đỉnh của tam giác đó bằng nhau. Tức là khoảng cách từ trọng tâm đến ba cạnh tỉ lệ nghịch với độ dài ba cạnh.
Tổng bình phương khoảng cách từ trọng tâm đến 3 đỉnh của tam giác là nhỏ nhất.
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật phẳng, tọa độ của trọng tâm là trung bình cộng của tọa độ đỉnh, tức là tọa độ của trọng tâm là ((X1 + X2 + X3) / 3, (Y1 + Y2 + Y3) / 3).

Hệ quả: Từ thuộc tính 1, chúng ta có thể thấy rằng GA + GB + GC = 0 Vectơ BO và vectơ BF thẳng hàng nên BO = xBF.

Theo quy tắc cộng tam giác: vectơ AO = AB + BO = a + xBF = a + x (AF-AB) = a + x (b / 2-a) = (1-x) a + (x / 2) b.

Vectơ CO và vectơ CD thẳng hàng, vì vậy chúng ta có thể đặt CO = yCD,

Theo quy tắc cộng tam giác: vectơ AO = AC + CO = b + yCD = b + y (AD-AC) = b + y (a / 2-b) = (y / 2) a + (1-y) b.

Vậy vectơ AO = (1-x) a + (x / 2) b = (y / 2) a + (1-y) b.

Khi đó 1-x = y / 2, x / 2 = 1-y, Nghiệm là x = 2/3, y = 2/3.

Vectơ BO = 2 / 3BF, vectơ CO = 2 / 3CD, Tức là BO: OF = CO: OD = 2.

∴Véc tơ AO = (y / 2) a + (1-y) b = 1 / 3a + 1 / 3b, Và vì vectơ AE = AB + BE = a + 1 / 2BC = a + 1/2 (AC-AB) = a + 1/2 (b-a) = 1 / 2a + 1 / 2b,

Do đó vectơ AO = 2/3 vectơ AE, Tức là vectơ AO thẳng hàng với vectơ AE nên ba điểm A, O và E thẳng hàng, Và có AO: OE = 2.

Tỉ số khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh với khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện là 2: 1.

Ví dụ: Đã biết: △ ABC, E, F là trung điểm của AB và AC. EC và FB được giao cho G. Xác minh: EG = 1 / 2CG.

Chứng minh: Qua E kẻ EH∥BF thành AC thành H. ∵AE = BE, EH // BF ∴AH = HF = 1 / 2AF (Định lý tỉ lệ của đường thẳng và đoạn thẳng song song)

Và ∵ AF = CF ∴HF = 1 / 2CF ∴HF: CF = 1/2 ∵EH∥BF ∴EG: CG = HF: CF = 1/2 ∴EG = 1 / 2CG

Ví dụ: Sử dụng phép đồng dạng tam giác Chứng minh: EG = 1 / 2CG nghĩa là EF = 1 / 2BC

Sử dụng đường trung tuyến để chứng minh rằng EF = 1 / 2BC

Bằng chứng hai đó là EG = 1 / 2CG.

Phương pháp chứng minh: diện tích của ba tam giác tạo bởi trọng tâm và ba đỉnh của tam giác đó bằng nhau.

Trong △ ABC, ba cạnh là a, b, c, điểm O là trọng tâm của tam giác và AOA ‘, BOB’, COC ‘lần lượt là đường trung trực của các cạnh a, b và c. Theo tính chất của trọng tâm:

OA ‘= 1 / 3AA’

OB ‘= 1 / 3BB’

OC ‘= 1 / 3CC’

Sau O, A lần lượt là đường cao OH ‘, AH trên cạnh a.

Có thể thấy rằng OH ‘= 1 / 3AH Khi đó, S △ BOC = 1/2 × OH’a = 1/2 × 1 / 3AHa = 1 / 3S △ ABC

Bằng cách tương tự, có thể chứng minh rằng S △ AOC = 1 / 3S △ ABC S △ AOB = 1 / 3S △ ABC

Vì vậy, S △ BOC = S △ AOC = S △ AOB