Tiêu chuẩn so sánh chuỗi số (Định nghĩa: chuỗi số dương )

Một số chuỗi số hạng dương có thể được sử dụng để xác định sự hội tụ và phân kỳ bằng cách tính tổng chuỗi một phần, nhưng chuỗi này tương đối nhỏ và rất khó để tính trực tiếp tổng một phần cho hầu hết các chuỗi. Lúc này, chúng ta phải coi một số chuỗi đặc biệt hội tụ hoặc phân kỳ là “thước kẻ”, và phán đoán sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi bằng cách so sánh các quy luật phân biệt.

Phương pháp phân biệt so sánh là một phương pháp được sử dụng rộng rãi để đánh giá sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi, và phương pháp kiểm tra tỷ lệ và giá trị gốc sau này vẫn có thể được coi là phương pháp phân biệt so sánh. Nguyên tắc của phương pháp so sánh là xác định độ hội tụ và phân kỳ của dãy số dựa trên nguyên tắc so sánh và một số dãy số thường dùng có sự hội tụ và phân kỳ đã biết.

Nguyên tắc so sánh: Cho ∑an và ∑bn là hai chuỗi, nếu có N, với mọi thứ n> N (nghĩa là “từ một số hạng nhất định”), an≤bn, thì nếu ∑bn hội tụ, thì ∑an hội tụ; ngược lại , Nếu ∑an phân kỳ, thì ∑bn phân kỳ.

Nguyên tắc này rất dễ hiểu, và có thể hiểu là “một chuỗi lớn hơn hội tụ nên chuỗi nhỏ nó phải hội tụ; chuỗi nhỏ hơn phân kỳ, vì vậy chuỗi lớn hơn phải phân kỳ.” Nếu một chuỗi, chúng ta có thể so sánh số hạng tổng quát của nó với số hạng tổng quát của một chuỗi có sự hội tụ và phân kỳ đã biết thì sau đó chúng ta có thể đánh giá sự hội tụ và phân kỳ của nó.

Trong thực tế sử dụng, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng dạng giới hạn của nguyên tắc so sánh, cụ thể là:

Gọi ∑an và ∑bn là hai chuỗi, nếu limn → ∞anbn = q

(1) Khi 0 <q <+ ∞ thì độ hội tụ và phân kỳ của hai chuỗi này là như nhau;

(2) Khi q = 0, nếu ∑bn hội tụ thì ∑an hội tụ

(3) Khi q = + ∞, nếu ∑an phân kỳ, thì ∑bn phân kỳ

Nguyên tắc so sánh là có thể phân biệt sự khác nhau, và sau đó chúng ta xem xét sự hội tụ và phân kỳ của một số chuỗi làm cơ sở để phân biệt. Chúng là thang đo được sử dụng để so sánh.

• Dãy hình học (chuỗi hình học): ∑n = 1∞aqn. Dễ dàng giải thích rằng chuỗi hình học hội tụ khi | q | <1 và phân kỳ khi | q | ≥1.
• Chuỗi p, cụ thể là ∑n = 1∞1np (p> 0), Hội tụ khi p> 1 và phân kỳ khi p≤1; đặc biệt, khi p = 1, nó được gọi là chuỗi điều hòa.

Một ví dụ khác: Sử dụng nguyên tắc so sánh để xác định sự hội tụ và phân kỳ của các hàm số sau:

(1) ∑2nsinπ3n

(2) ∑ (1 − cos1n)

(3) ∑1nn√n

Phân tích:

• Lúc này, vì 0 <π3n <π2 và sinπ3n <π3n nên 2nsinπ3n <π (23) n và Σπ (23) n là dãy hội tụ nên dãy Σ2nsinπ3n hội tụ.
• 1 − cos1n = 2sin212n <2 (12n) 2 = 12n2, ∑12n2 hội tụ nên ∑ (1 − cos1n) hội tụ. Đây là một so sánh với p-series.
• limn → ∞1nn√n1n = limn → ∞1n√n = 1, và chuỗi điều hòa ∑1n phân kỳ nên ∑1nn√n phân kỳ. Khi không thể trực tiếp cân đo và so sánh được thì sử dụng hình thức giới hạn của phương pháp phán đoán so sánh để phán đoán sự hội tụ và sự phân kỳ.