SỐ THỰC LÀ GÌ (đầy đủ)

Số thực là gì

Trong toán học, số thực là giá trị của đại lượng liên tục có thể biểu diễn khoảng cách dọc theo một đường (hoặc cách khác, đại lượng có thể được biểu diễn dưới dạng khai triển thập phân vô hạn). Tính từ thực trong ngữ cảnh này được giới thiệu vào thế kỷ 17 bởi René Descartes, người đã phân biệt giữa gốc thực và gốc ảo của đa thức. Số thực bao gồm tất cả các số hữu tỉ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số 4/3, và tất cả các số vô tỉ, chẳng hạn như (1,41421356 …, căn bậc hai của 2, một số đại số vô tỉ). Bao gồm trong số vô tỷ là các số siêu việt thực, chẳng hạn như π (3,14159265 …). Ngoài việc đo khoảng cách, số thực có thể được sử dụng để đo các đại lượng như thời gian, khối lượng, năng lượng, vận tốc, v.v. Tập hợp các số thực được biểu thị bằng ký hiệu R hoặc và đôi khi được gọi là “số thực”.

Số thực có thể được coi là các điểm trên một đường dài vô hạn được gọi là trục số hoặc đường thực, trong đó các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được xác định bằng cách biểu diễn số thập phân có thể vô hạn, chẳng hạn như số 8,632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp được đo bằng đơn vị bằng một phần mười kích thước của chữ số trước đó. Đường thực có thể được coi là một phần của mặt phẳng phức và các số thực có thể được coi là một phần của số phức.

Các số thực có thể được coi là các điểm trên một trục số dài vô hạn
Những mô tả về các số thực này không đủ nghiêm ngặt theo các tiêu chuẩn hiện đại của toán học thuần túy. Việc phát hiện ra một định nghĩa phù hợp chặt chẽ về số thực — thực sự, nhận ra rằng cần phải có một định nghĩa tốt hơn — là một trong những phát triển quan trọng nhất của toán học thế kỷ 19.

Tập hợp tất cả các số thực là không đếm được, nghĩa là mặc dù cả tập hợp tất cả các số tự nhiên và tập hợp tất cả các số thực đều là các tập hợp vô hạn, nhưng không thể có một hàm một đối một từ các số thực thành các số tự nhiên.

Số thực chỉ đơn giản là sự kết hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ, trong hệ thống số. Nói chung, tất cả các phép toán số học có thể được thực hiện trên những con số này và chúng cũng có thể được biểu diễn trong dòng số. Đồng thời, số ảo là số không thực, không thể biểu diễn trên trục số và thường được dùng để biểu diễn một số phức. Một số ví dụ về số thực là 23, -12, 6,99, 5/2, π, v.v. Trong bài này, chúng ta sẽ thảo luận về định nghĩa của số thực, các tính chất của số thực và các ví dụ của số thực với lời giải thích đầy đủ.

Tính chất của số thực

Mọi số thực khác 0 đều âm hoặc dương.
Tổng và tích của hai số thực không âm lại là một số thực không âm, tức là chúng được đóng theo các phép toán này và tạo thành một hình nón dương, do đó làm phát sinh một thứ tự tuyến tính của các số thực cùng một số đường kẻ.
Các số thực tạo nên một tập hợp vô hạn các số mà không thể ánh xạ một cách vô hạn với tập hợp các số tự nhiên vô hạn, tức là có vô hạn các số thực, trong khi các số tự nhiên được gọi là vô hạn. Điều này chứng tỏ rằng theo một nghĩa nào đó, có nhiều số thực hơn số phần tử trong bất kỳ tập hợp nào có thể đếm được.
Có một hệ thống phân cấp các tập hợp con vô hạn đếm được của các số thực, ví dụ: số nguyên, số hữu tỉ, số đại số và số có thể tính toán được, mỗi tập hợp là một tập hợp con thích hợp của tập tiếp theo trong dãy. Phần bổ sung của tất cả các tập hợp này (số thực vô tỷ, siêu việt và không tính được) trong số thực đều là các tập hợp vô hạn không đếm được.
Số thực có thể được sử dụng để biểu thị các phép đo của các đại lượng liên tục. Chúng có thể được biểu thị bằng các biểu diễn thập phân, hầu hết chúng có một dãy vô hạn các chữ số ở bên phải dấu thập phân; chúng thường được biểu diễn như 324.823122147 …, trong đó dấu chấm lửng (ba chấm) cho biết rằng sẽ còn nhiều chữ số nữa. Điều này gợi ý rằng chúng ta chỉ có thể biểu thị chính xác một vài số thực được chọn với vô số ký hiệu.
Chính thức hơn, các số thực có hai thuộc tính cơ bản là một trường có thứ tự và có ít thuộc tính giới hạn trên nhất. Đầu tiên nói rằng số thực bao gồm một trường, với phép cộng và phép nhân cũng như phép chia cho các số khác 0, có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một trục số theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân. Điều thứ hai nói rằng, nếu một tập hợp các số thực không rỗng có giới hạn trên, thì nó có giới hạn trên thực nhỏ nhất. Điều kiện thứ hai để phân biệt các số thực và các số hữu tỉ: ví dụ: tập hợp các số hữu tỉ có bình phương nhỏ hơn 2 là tập hợp có cận trên (ví dụ 1,5) nhưng không (hữu tỉ) có cận trên nhỏ nhất: do đó các số hữu tỉ không thỏa mãn thuộc tính giới hạn trên nhỏ nhất.

Số nguyên là gì

Một số nguyên (từ số nguyên tiếng Latinh có nghĩa là “toàn bộ”) được định nghĩa một cách thông tục là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các số nguyên, trong khi 9,75 và √2 thì không.

Tập hợp các số nguyên bao gồm không (0), các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …), còn được gọi là số nguyên hoặc số đếm và các nghịch đảo cộng của chúng (các số nguyên âm, tức là, −1 , −2, −3, …). Tập hợp các số nguyên thường được ký hiệu bằng chữ in đậm (Z).

Các số nguyên tạo thành nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất chứa các số tự nhiên. Trong lý thuyết số đại số, các số nguyên đôi khi được coi là số nguyên hữu tỉ để phân biệt chúng với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số cũng là số hữu tỉ.

Số hữu tỉ là gì

Trong toán học, một số hữu tỉ là một số có thể được biểu thị dưới dạng thương hoặc phân số p / q của hai số nguyên, tử số p và mẫu số khác không q. Ví dụ,
−3/7 là một số hữu tỉ, cũng như mọi số nguyên (ví dụ: 5 = 5/1). Tập hợp tất cả các số hữu tỉ, còn được gọi là “các số hữu tỉ”, [trường số hữu tỉ hay trường số hữu tỉ thường được ký hiệu bằng chữ in đậm Q. do đó nó được ký hiệu vào năm 1895 bởi Giuseppe Peano theo tên quoziente, tiếng Ý có nghĩa là ” thương hiệu “, và lần đầu tiên xuất hiện trong Algèbre của Bourbaki

Tập hợp Q của tất cả các số hữu tỉ, cùng với các phép toán cộng và nhân được trình bày ở trên, tạo thành một trường.

Với thứ tự được định nghĩa ở trên, Q là trường có thứ tự không có trường con nào khác ngoài chính nó và là trường có thứ tự nhỏ nhất, theo nghĩa là mọi trường có thứ tự đều chứa một trường con duy nhất đẳng cấu với Q.

Q là trường nguyên tố, là trường không có trường con nào khác ngoài itel. Các số hữu tỉ là trường nhỏ nhất với số không đặc trưng. Mọi trường đặc trưng 0 đều chứa một trường con duy nhất đẳng cấu với Q.

Q là trường phân số của các số nguyên Z. Trường đóng đại số của Q, tức là trường căn của đa thức hữu tỉ, là trường của số đại số.

Các hợp lý là một tập hợp có trật tự dày đặc: giữa hai hợp lý bất kỳ, có một hợp lý khác, và do đó, có vô số cái khác

Thuộc tính của số thực

Sau đây là bốn tính chất chính của số thực:

Tính chất giao hoán
Bất động sản kết hợp
Tài sản phân tán
Thuộc tính danh tính
Coi “m, n và r” là ba số thực. Sau đó, các thuộc tính trên có thể được mô tả bằng cách sử dụng m, n và r như hình dưới đây:

Tính chất giao hoán
Nếu m và n là các số thì dạng tổng quát sẽ là m + n = n + m đối với phép cộng và m.n = n.m đối với phép nhân.

Phép cộng: m + n = n + m. Ví dụ: 5 + 3 = 3 + 5, 2 + 4 = 4 + 2.
Phép nhân: m × n = n × m. Ví dụ: 5 × 3 = 3 × 5, 2 × 4 = 4 × 2.

Bất động sản kết hợp
Nếu m, n và r là các số. Dạng tổng quát sẽ là m + (n + r) = (m + n) + r đối với phép cộng (mn) r = m (nr) đối với phép nhân.

Phép cộng: Dạng tổng quát sẽ là m + (n + r) = (m + n) + r. Một ví dụ về thuộc tính liên kết cộng là 10 + (3 + 2) = (10 + 3) + 2.
Phép nhân: (mn) r = m (nr). Một ví dụ về thuộc tính kết hợp nhân là (2 × 3) 4 = 2 (3 × 4).

Thuộc tính phân tán
Đối với ba số m, n và r, có bản chất là thực, thuộc tính phân phối được biểu diễn dưới dạng:

m (n + r) = mn + mr và (m + n) r = mr + nr.

Ví dụ về thuộc tính phân phối là: 5 (2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3. Ở đây, cả hai bên sẽ mang lại 25.

Thuộc tính nhận dạng
Có tính chất cộng và phép nhân.

Ngoài ra: m + 0 = m. (0 là danh tính phụ gia)
Đối với phép nhân: m × 1 = 1 × m = m. (1 là số nhân)

Ứng dụng của số thực

Các số thực thường được hình thức hóa bằng cách sử dụng tiên đề Zermelo-Fraenkel của lý thuyết tập hợp, nhưng một số nhà toán học nghiên cứu các số thực bằng các cơ sở logic khác của toán học. Đặc biệt, các số thực còn được nghiên cứu trong toán học đảo ngược và toán học xây dựng.

Các số siêu thực do Edwin Hewitt, Abraham Robinson và những người khác phát triển mở rộng tập hợp các số thực bằng cách giới thiệu các số vô cực và vô hạn, cho phép xây dựng phép tính thập phân theo cách gần gũi hơn với trực giác ban đầu của Leibniz, Euler, Cauchy và những người khác.

Lý thuyết tập hợp bên trong của Edward Nelson làm phong phú thêm lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel về mặt cú pháp bằng cách giới thiệu một vị từ một ngôi “tiêu chuẩn”. Theo cách tiếp cận này, các số tương tự là phần tử (không phải “chuẩn”) của tập hợp các số thực (chứ không phải là phần tử của phần mở rộng của chúng, như trong lý thuyết của Robinson).

Trong khoa học vật lý, hầu hết các hằng số vật lý như hằng số hấp dẫn phổ quát và các biến vật lý, chẳng hạn như vị trí, khối lượng, tốc độ và điện tích, được mô hình hóa bằng cách sử dụng số thực. Trên thực tế, các lý thuyết vật lý cơ bản như cơ học cổ điển, điện từ học, cơ học lượng tử, thuyết tương đối rộng và mô hình chuẩn được mô tả bằng cách sử dụng các cấu trúc toán học, điển hình là đa tạp trơn hoặc không gian Hilbert, dựa trên các số thực, mặc dù các phép đo thực tế của các đại lượng vật lý có độ chính xác và độ chính xác hữu hạn.

Các nhà vật lý đôi khi đề xuất rằng một lý thuyết cơ bản hơn sẽ thay thế các số thực bằng các đại lượng không tạo thành một liên tục, nhưng những đề xuất như vậy vẫn mang tính suy đoán.