Định lý Pytago
Trong toán học, định lý Pitago, hay định lý Pythagoras, là một quan hệ cơ bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Nó nói rằng diện tích của hình vuông có cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng diện tích của các hình vuông có hai cạnh còn lại. Định lý này có thể được viết như một phương trình liên hệ giữa độ dài của các chân a, b và cạnh huyền c, thường được gọi là phương trình Pitago:
a^2 + b^2 = c^2
Định lý có lịch sử là chủ đề của nhiều cuộc tranh luận, được đặt tên cho nhà triết học Hy Lạp Pythagoras, sinh khoảng năm 570 trước Công nguyên.
Định lý đã được chứng minh nhiều lần bằng nhiều phương pháp khác nhau – có thể là nhiều nhất đối với bất kỳ định lý toán học nào. Các cách chứng minh rất đa dạng, bao gồm cả chứng minh hình học và chứng minh đại số, với một số có niên đại hàng nghìn năm.
Định lý có thể được khái quát hóa theo nhiều cách khác nhau: đối với không gian có chiều cao hơn, đối với không gian không phải là Euclide, đối với các vật thể không phải là tam giác vuông và đối với các vật thể hoàn toàn không phải là tam giác mà là chất rắn n chiều. Định lý Pitago đã thu hút sự quan tâm bên ngoài toán học như một biểu tượng của tính trừu tượng toán học, tính huyền bí, hoặc sức mạnh trí tuệ; rất nhiều tài liệu tham khảo phổ biến trong văn học, vở kịch, nhạc kịch, bài hát, tem và phim hoạt hình.
Phát biểu định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras phát biểu rằng “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại”. Các cạnh của tam giác này đã được đặt tên là Vuông góc, Cơ sở và Cạnh huyền. Ở đây, cạnh huyền là cạnh dài nhất, vì nó đối diện với góc 90 °. Các cạnh của một tam giác vuông (ví dụ a, b và c) có giá trị nguyên dương, khi được bình phương, được đưa vào một phương trình, còn được gọi là bộ ba Pitago.
Công thức Định lý Pythagoras
Xét tam giác đã cho ở trên:
Trong đó a, b là cạnh góc vuông, c là cạnh huyền
Theo định nghĩa, công thức Định lý Pythagoras được đưa ra là: c^2 = a^2 + b^2
Cạnh đối diện với góc vuông (90 °) là cạnh dài nhất (được gọi là cạnh huyền) vì cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh dài nhất
Định lý Pytago đảo
Ngược lại của định lý cũng đúng:
Với ba số dương a, b, c bất kỳ sao cho a^2 + b^2 = c^2, thì tồn tại tam giác có các cạnh a, b và c, và mọi tam giác đó đều có một góc vuông giữa các cạnh có độ dài a và b.
Một tuyên bố thay thế là:
Đối với bất kỳ tam giác nào có các cạnh a, b, c, nếu a^2 + b^2 = c^2 thì góc giữa a và b là 90 °.
Câu chuyện này cũng xuất hiện trong Các yếu tố của Euclid (Quyển I, Mệnh đề 48):
“Nếu trong một tam giác, bình phương ở một trong các cạnh bằng tổng bình phương ở hai cạnh còn lại của tam giác thì góc chứa hai cạnh còn lại của tam giác là góc vuông.”
Nó có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định luật cosin hoặc như sau:
Cho ABC là tam giác có độ dài các cạnh là a, b và c, với a^2 + b^2 = c^2. Dựng tam giác thứ hai có độ dài các cạnh là a và b chứa một góc vuông. Theo định lý Pitago, cạnh huyền của tam giác này có độ dài c = √(a^2 + b^2), bằng với cạnh huyền của tam giác đầu tiên. Vì cả hai cạnh của tam giác đều có độ dài bằng a, b và c nên các tam giác đồng dạng và phải có các góc bằng nhau. Do đó, góc giữa cạnh có độ dài a và b trong tam giác ban đầu là góc vuông.
Chứng minh điều ngược lại ở trên sử dụng chính định lý Pitago. Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh mà không cần giả sử định lý Pitago.
Hệ quả của định lý Pitago là một phương tiện đơn giản để xác định xem một tam giác là vuông, tù hay nhọn, như sau. Gọi c là cạnh dài nhất trong ba cạnh và a + b> c (nếu không theo bất đẳng thức tam giác thì không có tam giác nào). Các câu sau áp dụng:
Nếu a^2 + b^2 = c^2 thì tam giác vuông.
Nếu a^2 + b^2> c^2 thì tam giác nhọn.
Nếu a^2 + b^2 <c^2 thì tam giác tù.
Edsger W. Dijkstra đã phát biểu mệnh đề này về tam giác nhọn, vuông và tù bằng ngôn ngữ này:
sgn (α + β – γ) = sgn (a^2 + b^2 – c^2),
trong đó α là góc đối diện với cạnh a, β là góc đối diện với cạnh b, γ là góc đối diện với cạnh c, và sgn là hàm dấu.
Hệ quả và cách sử dụng định lý
Bộ ba Pythagore
Bài chi tiết: Bộ ba Pythagore
Một bộ ba Pitago có ba số nguyên dương a, b và c sao cho a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Nói cách khác, một bộ ba Pitago biểu thị độ dài các cạnh của một tam giác vuông trong đó cả ba cạnh đều có độ dài là số nguyên. Bộ ba như vậy thường được viết (a, b, c). Một số ví dụ nổi tiếng là (3, 4, 5) và (5, 12, 13).
Một bộ ba Pitago nguyên thủy là một bộ ba trong đó a, b và c là số nguyên tố (ước số chung lớn nhất của a, b và c là 1).
Sau đây là danh sách các bộ ba Pitago nguyên thủy có giá trị nhỏ hơn 100:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
Độ dài không thể so sánh được
Hình xoắn ốc của Theodorus: Một cấu trúc cho các đoạn thẳng có độ dài có tỷ lệ là căn bậc hai của một số nguyên dương
Một trong những hệ quả của định lý Pitago là các đoạn thẳng có độ dài không thể thay đổi được (vì vậy tỷ số của chúng không phải là một số hữu tỉ) có thể được xây dựng bằng cách sử dụng thước thẳng và compa. Định lý Pythagoras cho phép xây dựng các độ dài không thể cho phép vì cạnh huyền của một tam giác liên quan đến các cạnh bằng phép toán căn bậc hai.
Hình bên cho thấy cách dựng các đoạn thẳng có độ dài theo tỷ lệ căn bậc hai của bất kỳ số nguyên dương nào. Mỗi tam giác có một cạnh (có nhãn “1”) là đơn vị được chọn để đo. Trong mỗi tam giác vuông, định lý Pythagoras thiết lập độ dài của cạnh huyền theo đơn vị này. Nếu cạnh huyền liên quan đến đơn vị bằng căn bậc hai của một số nguyên dương không phải là một bình phương hoàn hảo, thì nó là một nhận biết độ dài không thể giới thiệu với đơn vị, chẳng hạn như √2, √3, √5. Để biết thêm chi tiết, hãy xem Bất hợp lý bậc hai.
Độ dài không thể đo được mâu thuẫn với quan niệm của trường phái Pitago về số chỉ là số nguyên. Trường phái Pitago xử lý các tỷ lệ bằng cách so sánh các bội số nguyên của một đơn vị con chung. Theo một truyền thuyết, Hippasus của Metapontum (khoảng 470 TCN) đã bị chết đuối trên biển vì đã biết về sự tồn tại của cái không hợp lý hoặc không thể giới thiệu được.
Tìm hiểu về nhà bác học Pytago
Pythagoras of Samos (tiếng Hy Lạp cổ đại: Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, chữ La tinh hóa: Pythagóras ho Sámios, viết tắt là ‘Pythagoras the Samian’, hay đơn giản là Πυθαγόρας; Πυθαγόρης trong tiếng Hy Lạp Ionian; năm 570 – khoảng năm 495 trước Công nguyên) là người Ionian cổ đại Nhà triết học Hy Lạp và là người sáng lập cùng tên của thuyết Pythagore. Những lời dạy về chính trị và tôn giáo của ông nổi tiếng ở Magna Graecia và ảnh hưởng đến triết học của Plato, Aristotle, và thông qua đó, triết học phương Tây. Kiến thức về cuộc đời của anh ta bị che mờ bởi truyền thuyết, nhưng anh ta dường như là con trai của Mnesarchus, một thợ khắc đá quý trên đảo Samos. Các học giả hiện đại không đồng ý về giáo dục và ảnh hưởng của Pythagoras, nhưng họ đồng ý rằng, vào khoảng năm 530 trước Công nguyên, ông đã đến Croton ở miền nam nước Ý, nơi ông thành lập một trường học trong đó các đồng tu thề giữ bí mật và sống một lối sống chung, khổ hạnh. Lối sống này kéo theo một số cấm ăn kiêng, theo truyền thống được cho là bao gồm cả việc ăn chay, mặc dù các học giả hiện đại nghi ngờ rằng ông từng ủng hộ việc ăn chay hoàn toàn.
Lời dạy được xác định một cách an toàn nhất với Pythagoras là chứng loạn thần kinh hay “sự chuyển đổi linh hồn”, cho rằng mọi linh hồn đều bất tử và khi chết sẽ nhập vào một cơ thể mới. Ông cũng có thể đã nghĩ ra học thuyết về âm nhạc phổ quát, cho rằng các hành tinh chuyển động theo các phương trình toán học và do đó cộng hưởng để tạo ra một bản giao hưởng âm nhạc không thể nghe được. Các học giả tranh luận về việc liệu Pythagoras đã phát triển những giáo lý về số học và âm nhạc được gán cho ông, hay những giáo lý đó được phát triển bởi những người theo sau ông, đặc biệt là Philolaus ở Croton. Sau chiến thắng quyết định của Croton trước Sybaris vào khoảng năm 510 trước Công nguyên, những người theo Pythagoras đã xung đột với những người ủng hộ nền dân chủ và các nhà họp của Pythagore đã bị đốt cháy. Pythagoras có thể đã bị giết trong cuộc đàn áp này, hoặc trốn thoát đến Metapontum, nơi cuối cùng ông đã chết.
Trong thời cổ đại, Pythagoras được ghi nhận với nhiều khám phá toán học và khoa học, bao gồm định lý Pythagore, điều chỉnh Pythagore, năm chất rắn thông thường, Thuyết tỷ lệ, hình cầu của Trái đất, và danh tính của các ngôi sao buổi sáng và buổi tối là hành tinh Sao Kim. . Người ta nói rằng ông là người đầu tiên tự gọi mình là nhà triết học (“người yêu của sự thông thái”) và ông là người đầu tiên chia địa cầu thành năm vùng khí hậu. Các nhà sử học cổ điển tranh luận về việc liệu Pythagoras có thực hiện những khám phá này hay không, và nhiều thành tựu ghi công cho ông có thể có nguồn gốc sớm hơn hoặc được thực hiện bởi các đồng nghiệp hoặc người kế nhiệm của ông [cần dẫn nguồn]. Một số tài liệu đề cập rằng triết học gắn liền với Pythagoras có liên quan đến toán học và những con số là quan trọng, nhưng vẫn còn tranh cãi về mức độ nào, nếu có, ông ấy thực sự đóng góp cho toán học hoặc triết học tự nhiên.
Pythagoras ảnh hưởng đến Plato, những người có các cuộc đối thoại, đặc biệt là Timaeus của ông, thể hiện những lời dạy của Pythagore. Những ý tưởng của Pitago về sự hoàn thiện toán học cũng tác động đến nghệ thuật Hy Lạp cổ đại. Những lời dạy của ông đã trải qua một cuộc phục hưng lớn vào thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên giữa những người theo chủ nghĩa Platon Trung Cổ, đồng thời với sự trỗi dậy của thuyết Neopythagore. Pythagoras tiếp tục được coi là một triết gia vĩ đại trong suốt thời Trung cổ và triết học của ông đã có tác động lớn đến các nhà khoa học như Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler và Isaac Newton. Chủ nghĩa tượng trưng của Pythagore đã được sử dụng trong suốt thời kỳ đầu theo chủ nghĩa bí truyền hiện đại của châu Âu, và những lời dạy của ông như được miêu tả trong Ovid’s Metamorphoses đã ảnh hưởng đến phong trào ăn chay hiện đại.
