Tổng hợp các phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng chi tiết nhất

Ba điểm thẳng hàng, một thuật ngữ trong toán học, là một bài toán hình học, đề cập đến ba điểm trên cùng một đường thẳng. Bạn có thể đặt ba điểm là A, B và C và sử dụng vectơ để chứng minh: λAB = AC (trong đó λ là một số thực khác 0).

Có rất nhiều phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng, bài viết này chúng ta cùng nhau tìm hiểu các cách đó nhé!

1. Phương pháp 1

Lấy hai điểm để lập một đoạn thẳng rồi tính công thức phân tích của đoạn thẳng. Sau đó thay vào tọa độ của điểm thứ ba xem công thức phân tích (đường thẳng và phương trình) có thỏa mãn hay không.

2. Phương pháp 2

Đặt ba điểm là A, B, C. Dùng vectơ để chứng minh: λAB = AC (với λ là số thực khác 0).

3. Phương pháp 3

Dùng phương pháp hiệu số điểm để tìm hệ số góc AB và hệ số góc AC bằng nhau, tức là ba điểm thẳng hàng.

4. Phương pháp 4

Sử dụng định lý Menelaus. Đối với sáu đoạn thẳng được xác định bởi một đường chéo ở mỗi cạnh của tam giác, tích của ba đoạn thẳng không liên tục bằng tích của ba đoạn thẳng còn lại.

Định lý này cũng có thể được chứng minh dễ dàng bằng hình học sơ cấp hoặc bằng cách áp dụng các tỉ số lượng giác đơn giản. Menelaus đã mở rộng định lý này cho các tam giác cầu.

Định lý Menelaus có thể được sử dụng để tính tỷ lệ độ dài của các đoạn thẳng trên một đường thẳng. Định lý nghịch đảo cũng có thể được sử dụng để giải bài toán thẳng hàng ba điểm và phương pháp xác định thẳng hàng ba điểm. Đây là một trong hình học phẳng và hình học xạ ảnh .Định lý cơ bản đóng một vai trò quan trọng. Đối ngẫu của định lý Menelaus là định lý Ceva.

Định lý nghịch đảo của nó cũng đúng: nếu có ba điểm F, D, E trên các cạnh AB, BC, CA hoặc các phần mở rộng của chúng của tam giác và thỏa mãn AF / FB × BD / DC × CE / EA = 1, thì F, Ba điểm D và E thẳng hàng. Sử dụng định lý nghịch đảo này, ba điểm có thể được đánh giá là thẳng hàng.

5. Phương pháp 5

Sử dụng tiên đề trong hình học “Nếu hai mặt phẳng không trùng nhau có điểm chung thì chúng có một và chỉ một đường thẳng chung đi qua điểm đó.” Có thể thấy rằng nếu ba điểm thuộc hai mặt phẳng cắt nhau thì thì ba điểm thẳng hàng.

6. Phương pháp 6

Sử dụng tiên đề (định lí) “Có một và chỉ một đường thẳng song song (vuông góc) với đường thẳng đã biết tại một điểm nằm ngoài đường thẳng”.

7. Phương pháp 7

Chứng minh rằng góc bằng 180 °.

8. Phương pháp 8

Đặt A B C và chứng minh rằng diện tích của △ ABC bằng 0.

9. Phương pháp 9

Định lý Pappus:

Gọi U, V, W, X, Y, Z là 6 đường thẳng trên mặt phẳng. nếu như:
(1) Giao điểm của U và V, giao điểm của X và W, giao điểm của Y và Z thẳng hàng, và
(2) Giao điểm của U và Z, giao điểm của X và V, giao điểm của Y và W thẳng hàng,
Khi đó phải có (3) giao điểm của U và W, giao điểm của X và Z, và giao điểm của Y và V thẳng hàng. Định lý này được gọi là định lý lục giác Pappus.

10. Phương pháp 10

Sử dụng phép chứng minh tọa độ. Điều đó chứng minh rằng x1y2 = x2y1.

11. Phương pháp 11

Tương tự như bản chất của đồ họa.

12. Phương pháp 12

Phương pháp vectơ, tức là vectơ PB = λ vectơ PA + μ vectơ PC, và λ + μ = 1, khi đó ba điểm ABC thẳng hàng.

13. Phương pháp 13

Định lý góc: Nếu một đường nằm ngang cắt hai đường thẳng song song thì các góc ngoài thay thế là nhất quán.

Điều ngược lại cũng được áp dụng: nếu một đường ngang cắt hai đường thẳng và các góc xen kẽ bên ngoài bằng nhau thì các đường thẳng này song song.