Tìm hiểu về phương trình Elip và bộ công thức tính diện tính hình Elip chi tiết nhất

Trong toán học, hình elip là quỹ đạo của một điểm mà tổng khoảng cách từ hai điểm cố định khác nhau trên một mặt phẳng là không đổi.

Theo định nghĩa này, một hình elip vẽ tay có thể được sử dụng: đầu tiên chuẩn bị một đoạn thẳng và buộc hai đầu đoạn thẳng vào một điểm cố định (hai điểm được coi là hai tiêu điểm của hình elip, và khoảng cách nhỏ hơn hơn độ dài của đoạn thẳng); Lấy bút và dùng đầu bút siết chặt đoạn thẳng lại. Lúc này, hai điểm và bút sẽ tạo thành một hình tam giác (cả hai cạnh); sau đó di chuyển đầu bút sang trái và phải để kéo để bắt đầu vẽ, tiếp tục thắt chặt đường và cuối cùng bạn có thể hoàn thành một hình elip.

Vì khoảng cách giữa hai điểm cố định cũng cố định nên bạn có thể bỏ qua bước buộc điểm và buộc đoạn thẳng thành vòng, sau đó dùng đầu bút kéo dài đoạn thẳng bằng đầu bút và hai điểm lấy nét.

Elip là quỹ đạo của chất điểm P mà tổng khoảng cách từ hai điểm cố định F1 và F2 trong mặt phẳng bằng một hằng số (lớn hơn | F1F2 |). F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của elip. . Biểu thức toán học của nó là: | PF1 | + | PF2 | = 2a (2a> | F1F2 |).

Hình elip là một loại đường cong hình nón, tức là phần của hình nón và mặt phẳng. Chu vi của một hình elip bằng độ dài của một đường cong hình sin cụ thể trong một chu kỳ.

Phương trình chuẩn của elip được chia thành hai trường hợp：

Khi tiêu điểm nằm trên trục x, phương trình chuẩn của hình elip là: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1, (a> b> 0);

Khi tiêu điểm nằm trên trục y, phương trình chuẩn của elip là: y ^ 2 / a ^ 2 + x ^ 2 / b ^ 2 = 1, (a> b> 0);

Trong đó a ^ 2-c ^ 2 = b ^ 2

Xuất phát: PF1 + PF2> F1F2 (P là điểm trên elip và F là tiêu điểm)

Dải X, Y：

Khi tiêu điểm nằm trên trục X -a≤x≤a, -b≤y≤b
Khi tiêu điểm nằm trên trục Y -b≤x≤b, -a≤y≤a

Đối diện: Bất kể tiêu điểm nằm trên trục X hay trục Y, hình elip luôn đối xứng về điểm gốc X / Y /.

Đỉnh:

Khi tiêu điểm nằm trên trục X: đỉnh của trục chính: (-a, 0), (a, 0)
Đỉnh trục nhỏ: (0, b), (0, -b)
Khi tiêu điểm nằm trên trục Y: đỉnh của trục chính: (0, -a), (0, a)
Đỉnh trục nhỏ: (b, 0), (-b, 0)

Chú ý xem trục dài và trục ngắn tương ứng biểu diễn ở trục nào, ở đây dễ gây nhầm lẫn, cần hiểu dần sự kết hợp giữa số và hình.

Tiêu điểm:

Khi tiêu điểm nằm trên trục X, tọa độ tiêu điểm là F1 (-c, 0) F2 (c, 0).
Khi tiêu điểm nằm trên trục Y, tọa độ tiêu điểm là F1 (0, -c) F2 (0, c).

Khi tâm của hình elip ở gốc (0,0) và tiêu điểm nằm trên trục x và trục y, thì phương trình elip có thể dễ dàng suy ra. Phương trình elliptic được cho bởi: x2 / a2 + y2 / b2 = 1.

P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = P3F1 + P3F2 là một hằng số. Hằng số này luôn lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Khi hai tiêu điểm được nối với nhau bằng một đoạn thẳng thì trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm được gọi là tâm.

Đoạn thẳng đi qua tiêu điểm của elip là trục chính, và đoạn thẳng vuông góc với trục chính và đi qua tâm của elip là trục nhỏ. Các điểm cuối A và B như trong hình được gọi là các đỉnh và chúng đại diện cho giao điểm của trục chính và hình elip. “2a” thể hiện độ dài của trục chính và “a” biểu thị độ dài của bán trục. “2b” là độ dài của trục nhỏ và “b” là độ dài của nửa trục nhỏ. “2c” thể hiện khoảng cách giữa hai tiêu điểm.

Chứng minh:

Chúng ta hãy xem xét các điểm cuối A và B trên trục dài, và điểm cuối C và D trên các đầu của trục ngắn.

Tổng khoảng cách giữa B và F 1 là F1B + F2B = F1O + OB + F2B (theo hình trên)

⇒ c + a + a – c = 2a

Tổng khoảng cách từ điểm C đến F 1 là F1C + F2C

⇒ F1C + F2C = √ (b2 + c2) + √ (b2 + c2) = 2√ (b2 + c2)

Theo định nghĩa của ellipse;

2√ (b2 + c2) = 2a

⇒a = √ (b2 + c2)

⇒a2 = b2 + c2

⇒c2 = a2 – b2