Hiểu sâu về Nghiệm pt bậc 2 (bất phương trình bậc 2 vô nghiệm khi nào, thuật toán giải phương trình bậc 2)

Phương trình tích phân chỉ chứa một ẩn số (một phần tử) và bậc cao nhất của số hạng chưa biết là 2 (bậc hai) được gọi là phương trình bậc hai một phần tử.

Phương trình bậc hai một biến và phương trình tuyến tính một biến đều là phương trình tích, là một nội dung trọng tâm của môn Toán trung học cơ sở và là cơ sở cho việc học Toán sau này.

Dạng tổng quát của phương trình bậc hai một biến là: ax² (2 là bậc, tức là bình phương của X) + bx + c = 0, (a ≠ 0), là một phương trình tích chỉ có một ẩn số và mức độ cao nhất của ẩn số là 2.

Ý tưởng cơ bản của việc giải phương trình bậc hai trong một biến là biến nó thành hai phương trình tuyến tính trong một biến theo “thứ tự giảm dần”. Có bốn nghiệm của một phương trình bậc hai trong một ẩn số:

• Phương pháp trực tiếp
• Phương pháp đối sánh
• Phương pháp công thức
• Phương pháp thừa số

1. Phương pháp trực tiếp

Phương pháp căn bậc hai trực tiếp là phương pháp giải phương trình bậc hai một chiều với căn bậc hai trực tiếp. Giải một phương trình có dạng (x-m) ² = n (n≥0) bằng phương pháp san bằng trực tiếp, và nghiệm là x = ± dưới dấu căn n + m.

Ví dụ giải phương trình:

(1) (3x + 1) ² = 7

(2) 9x²-24x + 16 = 11

Phân tích: (1) Phương trình này rõ ràng là dễ sử dụng phương pháp trực tiếp.

(2) Vế trái của phương trình là phương pháp san bằng hoàn toàn (3x-4) ², và vế phải = 11> 0, vì vậy phương trình này cũng có thể được giải quyết bằng phương pháp trực tiếp.

2. Phương pháp đối sánh

Sử dụng phương pháp đối sánh để giải phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Đầu tiên chuyển hằng số c sang vế phải của phương trình: ax² + bx = -c Chuyển hệ số bậc hai thành 1: x2 + x = –

Cộng bình phương của một nửa hệ số của số hạng đầu tiên vào cả hai vế của phương trình: x² + x + () ² = – + () ²

Vế trái của phương trình trở thành một đường hoàn toàn phẳng: (x +) ² =

Khi b²-4ac≥0, x + = ± ∴x = (Đây là công thức gốc)

3. Phương pháp công thức

Chuyển phương trình bậc hai của một biến về dạng tổng quát rồi tính giá trị của phân thức △ = b²-4ac. Khi b²-4ac≥0, thay giá trị của các hệ số a, b và c vào công thức tìm căn x = [-b ± (b²-4ac) ^ (1/2)] / (2a), (b²-4ac≥0) có thể nhận được căn của phương trình.

Ví dụ giải phương trình bằng công thức 2x²-8x = -5.

Giải: Chuyển phương trình về dạng tổng quát: 2x²-8x + 5 = 0

a = 2, b = -8, c = 5

b²-4ac = (- 8) ²-4 × 2 × 5 = 64-40 = 24> 0

x = [(- b ± (b²-4ac) ^ (1/2)] / (2a)

4. Phương pháp thừa số

Biến phương trình thành không ở một vế, và phân thức bậc hai ở vế kia thành tích của hai thừa số chính, làm cho hai thừa số chính bằng 0 và nhận được hai phương trình tuyến tính một biến.

Các nghiệm thu được khi giải hai phương trình tuyến tính này ở một ẩn số là hai nghiệm nguyên của phương trình ban đầu. Phương pháp giải phương trình bậc hai trong một ẩn số này được gọi là thừa số hóa.

Ví dụ sử dụng phương pháp thừa số để giải các phương trình sau:

(1) (x + 3) (x-6) = – 8

(2) 2×2 + 3x = 0

Cách giải:

• (x + 3) (x-6) = – 8 Đơn giản hóa và sắp xếp

x2-3x-10 = 0 (vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, vế phải là 0)

(x-5) (x + 2) = 0 (hệ số phân rã ở bên trái của phương trình)

x-5 = 0 hoặc x + 2 = 0 (được chuyển đổi thành hai phương trình tuyến tính một chiều)

x1 = 5, x2 = -2 là nghiệm của phương trình ban đầu.

• 2×2 + 3x = 0 x (2x + 3) = 0 (sử dụng phương pháp thừa số hóa phổ biến để phân tích vế trái của phương trình)

x = 0 hoặc 2x + 3 = 0 (được chuyển đổi thành hai phương trình tuyến tính một chiều)

x1 = 0, x2 = – là nghiệm của phương trình ban đầu.